Задача МНК тренд (укр)
6 октября, 2016 5:33 пп Leave your thoughts№ 19
Побудувати парну лінійну економетричну модель залежності витрат на виробництво (млн. грн.) від випуску продукції (т) використовуючи МНК. Оцінити адекватність, значущість парних моделей і розрахувати інтервальні прогнози У на 1 рік.
Yt = â0 + â xt+ ut
t | Випуск, т | Витрати,млн. грн. |
n | Y | X |
1 | 5,0 | 50 |
2 | 5,0 | 50 |
3 | 5,2 | 46 |
4 | 5,3 | 45 |
5 | 4,0 | 52 |
6 | 4,5 | 55 |
7 | 4,7 | 56 |
8 | 4,0 | 60 |
9 | 4,0 | 62 |
Рішення.
При виборі виду функції тренда можна скористатися методом кінцевих різниць (обов'язковою умовою застосування даного підходу є рівність інтервалів між рівнями ряду).
Кінцевими різницями першого порядку є різниці між послідовними рівнями ряду:
Δ 1 t = Y T - Y T-1
Кінцевими різницями другого порядку є різниці між послідовними кінцевими різницями 1-го порядку :
Δ 2 t = Δ 1 t - Δ 1 t-1
Кінцевими різницями j-го порядку є різниці між послідовними кінцевими різницями (j-1)-го порядку :
Δ J T = Δ j-1 t - Δ J-1 t-1
Якщо загальна тенденція виражається лінійним рівнянням Y = a + bt, тоді кінцеві різниці першого порядку постійні: Δ 1 2 = Δ 1 3 = ... = Δ 1 n , а різниці другого порядку дорівнюють нулю.
Якщо загальна тенденція виражається параболою другого порядку:
Y = a + bt + ct 2 , то отримаємо постійними кінцеві різниці другого порядку: Δ 2 3 = Δ 2 4 = ... = Δ 2 n , нульовими - різниці третього порядку.
Якщо приблизно постійними виявляються темпи зростання, то для вирівнювання застосовується показова функція.
При виборі форми рівняння слід виходити з обсягу наявної інформації. Чим більше параметрів містить рівняння, тим більше має бути спостережень при одній і тій же мірі надійності оцінювання.
Вибір форми кривої може здійснюватися і на основі прийнятого критерію якості рівняння регресії, в якості якого може служити сума квадратів відхилень фактичних значень рівня ряду від значень рівнів, розрахованих за рівнянням тренда.
Із сукупності кривих вибирається та, якій відповідає мінімальне значення критерію. Іншим статистичним критерієм є коефіцієнт множинної детермінації R 2 .
Y і | Δ 1 t | Δ 2 t | Темп росту |
5 | - | - | - |
5 | 0 | - | 1 |
5.2 | 0.2 | 0.2 | 1.04 |
5.3 | 0.1 | -0.1 | 1.02 |
4 | -1.3 | -1.4 | 0.75 |
4.5 | 0.5 | 1.8 | 1.13 |
4.7 | 0.2 | -0.3 | 1.04 |
4 | -0.7 | -0.9 | 0.85 |
4 | 0 | 0.7 | 1 |
Рівняння має вигляд Yt = â0 + â xt+ ut
Знаходимо параметри рівняння методом найменших квадратів .
Система рівнянь МНК:
a 0 n + a 1 Σt + a 2 Σt 2 = Σy
а0 Σt + a1 Σt 2 + a 2 Σt 3 = Σyt
а0 Σ t 2 + a1 Σt 3 + a 2 Σt 4 = Σyt 2
t | y | t 2 | y 2 | t y | t 3 | t 4 | t 2 y |
1 | 5 | 1 | 25 | 5 | 1 | 1 | 5 |
2 | 5 | 4 | 25 | 10 | 8 | 16 | 20 |
3 | 5.2 | 9 | 27.04 | 15.6 | 27 | 81 | 46.8 |
4 | 5.3 | 16 | 28.09 | 21.2 | 64 | 256 | 84.8 |
5 | 4 | 25 | 16 | 20 | 125 | 625 | 100 |
6 | 4.5 | 36 | 20.25 | 27 | 216 | 1296 | 162 |
7 | 4.7 | 49 | 22.09 | 32.9 | 343 | 2401 | 230.3 |
8 | 4 | 64 | 16 | 32 | 512 | 4096 | 256 |
9 | 4 | 81 | 16 | 36 | 729 | 6561 | 324 |
45 | 41.7 | 285 | 195.47 | 199.7 | 2025 | 15333 | 1228.9 |
9a0 + 476a1 + 25450a2 = 41.7
476a0 + 25450a1 + 1375388a2 = 2184.4
25450a0 + 1375388a1 + 75111154a2 = 115679.4
Отримуєм a0 = 0.00162, a1 = -0.25, a2 = 13.269
Отримуємо рівняння:
y = 0.00162t2-0.25t+13.269
Емпіричні коефіцієнти тренда a і b є лише оцінками теоретичних коефіцієнтів βі, а саме рівняння відображає лише загальну тенденцію в поведінці розглянутих змінних.
Однофакторний дисперсійний аналіз.
Середні значення дисперсія
Дисперсія:
Середньоквадратичне відхилення
Коефіцієнт еластичності.
Коефіцієнт еластичності - це показник сили зв’язку фактору t з результатом у, що показує, наскільки відсотків (%) зміниться значення у при зміні значення на 1%.
Коефіцієнт еластичності менше 1. Отже, при зміні t на 1% у зміниться менше, ніж на 1 %. Іншими словами – вплив t на у не суттєвий.
Для оцінки якості параметрів рівняння побудуємо розрахункову таблицю:
t | y | y(t) | (y-ycp)2 | (y-y(t))2 |
1 | 5 | 5.11 | 0.13 | 0.0123 |
2 | 5 | 5.05 | 0.13 | 0.00212 |
3 | 5.2 | 4.96 | 0.32 | 0.0586 |
4 | 5.3 | 4.85 | 0.44 | 0.21 |
5 | 4 | 4.71 | 0.4 | 0.51 |
6 | 4.5 | 4.55 | 0.0178 | 0.0028 |
7 | 4.7 | 4.37 | 0.00444 | 0.11 |
8 | 4 | 4.17 | 0.4 | 0.0276 |
9 | 4 | 3.94 | 0.4 | 0.0039 |
|
| 41.7 | 2.26 | 0.93 |
Аналіз точності визначення оцінок параметрів рівняння тренда .
Стандартна помилка рівняння.
де m = 2 - кількість впливових факторів у моделі тренда.
Перевірка гіпотез щодо коефіцієнтів лінійного рівняння тренда .
Перевірка гепотизи відносно коефіцієнтів лінійного рівняння.
1) t-статистика. Критерій Стьюдента.
; 
Статистична значимість коефіцієнта a не підтверджується.
; 
Статистична значимість коефіцієнта a не підтверджується.
Довірчий інтервал для коефіцієнтів рівняння.
Визначимо довірчі інтервали коефіцієнтів, що з надійністю 95% будуть наступні:
(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)
(0.00162 - 2.447•0.0195; 0.00162 + 2.447•0.0195)
(-0.0461;0.0493)
Так як точка 0 (ноль) лежить всередині довірчого інтервалу, то інтервальна оцінка коефіцієнту b статистично незначуща..
(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)
(-0.25 - 2.447•1.04; -0.25 + 2.447•1.04)
(-2.79;2.29)
2) F-статистика. Критерій Фішера.
Знаходимо з таблиці Fkp (1; 6; 0.05) = 5.99 де m - кількість факторів в рівнянні тренда (m = 2).
Оскільки F <Fkp, то коефіцієнт детермінації (і в цілому рівняння тренда) статистично значущий.
Для аналізу корельованості відхилень використовують статистику Дарбіна-Уотсона.
Критичні значення d1 та d2 визначаються на основі спеціальних таблиць для необхідного рівня значущості α, числа спостережень n = 9 та кількості пояснюють змінних m = 1.
Автокореляція відсутня, якщо виконується така умова:
d 1 < dW та d 2 <dW <4 - d2 .
Не звертаючись до таблиці, можна користуватися приблизними правилом і вважати, що автокореляція залишків відсутня, якщо 1,5 < dW <2.5.
Оскільки 1,5 <2,14 <2,5, то автокореляція залишків відсутня .
Для більш надійного виведення доцільно звертатися до табличних значень.
По таблиці Дарбина-Уотсона для n = 9 та k = 1 (рівень значимості 5%) знаходимо: d 1 = 1.08; d 2 = 1,36.
Оскільки 1,08 <2.14 та 1,36 <2,14 <4 – 1,36
Таким чином, автокореляція залишків відсутня .
Інтервальний прогноз.
Визначимо середнєквадратичну помилку прогнозованого показника.
Uy = у n + L ± K
,
Де:
L - період попередження;
у n + L - точковий прогноз за моделлю на (n + L) -й момент часу;
n - кількість спостережень в тимчасовому ряді;
Sy - стандартна помилка прогнозованого показника;
T табл - табличне значення критерію Стьюдента для рівня значущості α і для числа ступенів свободи, рівного n-2 .
По таблиці Стьюдента знаходимо tтабл:
Tтабл (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447
Точечний прогноз:
t = 63: y(63) = 0.00162*632 -0.25*63 + 13.27 = 3.96
3.96 - 0.98 = 2.98 ; 3.96 + 0.98 = 4.94
Інтервальний прогноз: t = 63: (2.98;4.94)
Categorised in: Готові роботы
This post was written by dima
