Задача 4
6 октября, 2016 6:43 пп Leave your thoughtsЗадача
Вариант № 19
Підприємство випускає чотири види продукції, використовуючи три види ресурсів. Відомі норми витрат ресурсів кожного типу на одиницю продукції, запаси всіх видів ресурсів та ціна одиниці продукції кожного типу.
Необхідно визначити оптимальний план виробництва продукції, за якого виручка від її реалізації буде найбільшою та провести економічний аналіз оптимального плану за наступною схемою:
1. Побудувати математичні моделі початкової та двоїстої задач.
2. Знайти оптимальні плани обох спряжених задач.
3. Дати економічне тлумачення основним і додатковим змінним початкової і двоїстої задач та значенням їхніх цільових функцій.
4. Визначити дефіцитні та недефіцитні ресурси.
5. Визначити рентабельні та нерентабельні види продукції.
6.Знайти межі зміни обсягів виробничих ресурсів, для яких змінні двоїстої задачі лишаються незмінними.
7.Знайти межі зміни цін на продукцію, для яких структура плану початкової задачі не змінюється.
8.Проаналізувати доцільність розширення асортименту продукції за рахунок включення в план виробництва нового виду продукції.
Ресурси | Норми витрат ресурсів на одиницю продукції | Запас ресурсів | Нова продукція | |||
A | B | C | D | |||
3 | 4 | 3 | 3 | 2800 | 4 | |
2 | 0 | 2 | 4 | 3000 | 5 | |
15 | 35 | 40 | 40 | 8000 | 45 | |
Ціна од. продукції | 30 | 35 | 40 | 40 |
| 45 |
Рішення.
Двоїста задача лінійного програмування .
Вирішимо пряму задачу лінійного програмування симплексним методом, з використанням симплексного таблиці.
Визначимо максимальне значення цільової функції
F (X) = 30x 1 + 35x 2 + 40x 3 + 40x 4
при наступних умовах-обмежень.
3x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 ≤2800
2x 1 + 2x 3 + 3x 4 ≤3000
15x 1 + 35x 2 + 40x 3 + 40x 4 ≤8000
Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних ( перехід до канонічної формі ).
В 1-му нерівності (≤) вводимо базисну змінну x5 .
В 2-му нерівності (≤) вводимо базисну змінну x6 .
В 3-му нерівності сенсу (≤) вводимо базисну змінну x7 .
3x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 1x 5 + 0x 6 + 0x 7 = 2800
2x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 0x 5 + 1x 6 + 0x 7 = 3000
15x 1 + 35x 2 + 40x 3 + 40x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 1x 7 = 8000
Матриця коефіцієнтів A = a (ij) цієї системи рівнянь має вигляд:
3 | 4 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 |
2 | 0 | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 |
15 | 35 | 40 | 40 | 0 | 0 | 1 |
Базисні змінні це змінні, які входять лише в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.
Економічний сенс додаткових змінних : додаткові змінні завдання ЛП позначають надлишки сировини, часу, інших ресурсів, що залишаються у виробництві даного оптимального плану.
Вирішимо систему рівнянь щодо базисних змінних : x5 , x6 , x7
Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:
х1 = (0,0,0,0,2800,3000,8000)
Базисне рішення називається допустимим, якщо воно немінусове.
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
x 5 | 2800 | 3 | 4 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 |
x 6 | 3000 | 2 | 0 | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 |
x 7 | 8000 | 15 | 35 | 40 | 40 | 0 | 0 | 1 |
F (х0) | 0 | -30 | -35 | -40 | -40 | 0 | 0 | 0 |
Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.
Ітерація №0 .
1. Перевірка критерію оптимальності . Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.
2. Визначення нової базисної змінної . В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінної x4 , так як це найбільший коефіцієнт за модулем.
3. Визначення нової вільної змінної . Обчислимо значення dі по рядках як частку від діління: bi / а i4 та з них виберемо найменше:
min (2800: 3, 3000: 3, 8000: 40) = 200
Отже, 3-а рядок є ведучим.
Дозволяючий елемент дорівнює (40) і перебуває на перетині ведучого стовпця і ведучою рядка.
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | min |
x 5 | 2800 | 3 | 4 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 933 1 / 3 |
x 6 | 3000 | 2 | 0 | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 | 1000 |
x 7 | 8000 | 15 | 35 | 40 | 40 | 0 | 0 | 1 | 200 |
F (х1) | 0 | -30 | -35 | -40 | -40 | 0 | 0 | 0 | 0 |
4. Перерахунок симплекс-таблиці .
Формуємо наступну частину симплексної таблиці.
Замість змінної x7 в план 1 увійде змінна x4 .
Рядок, відповідний змінній x4 в плані 1, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка х7 плану 0 на дозволяючий елемент ДЕ = 40
На місці дозволяючого елемента в плані 1 отримуємо 1.
В інших клітинах стовпця x4 плану 1 записуємо нулі.
Таким чином, у новому плані 1 заповнені рядок x4 та стовпець x4 .
Всі інші елементи нового плану 1, включаючи елементи індексного рядка , визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають дозволяючий елемент ДЕ.
НЕ = СЕ - (А * В) / ДЕ
СТЕ - елемент старого плану,
ДЕ - дозволяє елемент (40 ),
А і В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Представимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:
B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
2800 (8000 • 3): 40 | 3-(15 • 3): 40 | 4-(35 • 3): 40 | 3-(40 • 3): 40 | 3- (40• 3): 40 | 1-(0 • 3): 40 | 0- (0 • 3): 40 | 0-(1 • 3): 40 |
3000- (8000 • 3): 40 | 2-(15 • 3): 40 | 0-(35 • 3): 40 | 2-(40 • 3): 40 | 3- (40 • 3): 40 | 0-(0 • 3): 40 | 1-(0 • 3): 40 | 0-(1 • 3): 40 |
8000: 40 | 15: 40 | 35: 40 | 40: 40 | 40: 40 | 0: 40 | 0: 40 | 1: 40 |
0- (8000 • -40): 40 | -30- (15 • -40): 40 | -35- (35 • -40): 40 | -40- (40 • -40): 40 | -40- (40 • -40): 40 | 0- (0 • -40): 40 | 0- (0 • -40): 40 | 0-(1 • -40): 40 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
x 5 | 2200 | 15 / 8 | 11 / 8 | 0 | 0 | 1 | 0 | -3 / 40 |
x 6 | 2400 | 7 / 8 | -21 / 8 | -1 | 0 | 0 | 1 | -3 / 40 |
x 4 | 200 | 3 / 8 | 7 / 8 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 / 40 |
F (х1) | 8000 | -15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Ітерація №1 .
1. Перевірка критерію оптимальності. Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.
2. Визначення нової базисної змінної . В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінної x1 , так як це найбільший коефіцієнт за модулем.
3. Визначення нової вільної змінної . Обчислимо значення Dі по рядках як частка від ділення: bi / аi1та з них виберемо найменше:
min (2200: 1 7 / 8 , 2400: 7 / 8 , 200: 3 / 8 ) = 533 1 / 3
Отже, 3-а рядок є провідним. Дозволяючий елемент дорівнює (3/8) і знаходиться на перетині ведучого стовпцю і ведучого рядка.
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | min |
x 5 | 2200 | 1 7 / 8 | 1 3 / 8 | 0 | 0 | 1 | 0 | -3 / 40 | 1173 1 / 3 |
x 6 | 2400 | 7 / 8 | -2 +5 / 8 | -1 | 0 | 0 | 1 | -3 / 40 | 2742 6 / 7 |
x 4 | 200 | 3 / 8 | 7 / 8 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 / 40 | 533 1 / 3 |
F (х2) | 8000 | -15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
4. Перерахунок симплекс-таблиці .
Формуємо наступну частину симплексної таблиці.
Замість змінної x4 в план 2 увійде змінна x1 .
Рядок, відповідна змінної x1 в плані 2, отримана в результаті поділу всіх елементів рядка x 4 плану 1 на дозволяючий елемент ДЕ = 3 / 8
На місці дозволяючого елементу в плані 2 отримуємо 1.
В інших клітинах стовпця x1 плану 2 записуємо нулі.
Таким чином, у новому плані 2 заповнені рядок x1 і стовпець x1 .
Всі інші елементи нового плану 2, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.
Представимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:
B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
2200-(200 • 1 7/8 ): 3/8 | 1 7/8 - ( 3/8 • 17/8 ): 3/8 | 1 3/8 -( 7/8 • 1 7 / 8 ): 3/8 | 0- (1 • 1 7/8 ): 3/8 | 0- (1• 1 7/8 ): 3/8 | 1- (0 • 1 7/8): 3/8 | 0-(0•1 7/8): 3/8 | -3/40-(1/40•17/8): 3/8 |
2400- (200•7/8 ): 3 / 8 | 7/8-(3/8•7/8):3/8 | -2+5/8 -(7/8 •7/8): 3/8 | -1- (1 • 7 / 8 ): 3 / 8 | 0-(1 • 7 / 8 ): 3/8 | 0-(0 •7 / 8 ): 3/8 | 1-(0•7/8 ):3/8 | -3/40-(1/40•7/8 ):3/8 |
200: 3 / 8 | 3 / 8 : 3 / 8 | 7/8 :3/8 | 1: 3 / 8 | 1: 3 / 8 | 0: 3 / 8 | 0: 3 / 8 | 1/40 : 3/8 |
8000-(200 • -15):3/8 | -15-(3/8•-15): 3/8 | 0- (7/8 • -15): 3/8 | 0-(1•-15):3/8 | 0-(1• -15):3/8 | 0-(0•-15):3/8 | 0-(0•-15):3/8 | 1-(1/40 • -15): 3/8 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
x 5 | 1200 | 0 | -3 | -5 | -5 | 1 | 0 | -1 / 5 |
x 6 | 5800 / 3 | 0 | -14 / 3 | -10 / 3 | -7 / 3 | 0 | 1 | -2 / 15 |
x 1 | 1600 / 3 | 1 | 7 / 3 | 8 / 3 | 8 / 3 | 0 | 0 | 1 / 15 |
F (х2) | 16000 | 0 | 35 | 40 | 40 | 0 | 0 | 2 |
Перевірка критерію оптимальності .
Серед значень індексного рядка немає негативних. Тому ця таблиця визначає оптимальний план задачі.
Остаточний варіант симплекс-таблиці:
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
x 5 | 1200 | 0 | -3 | -5 | -5 | 1 | 0 | -1 / 5 |
x 6 | 5800 / 3 | 0 | -14 / 3 | -10 / 3 | -7 / 3 | 0 | 1 | -2 / 15 |
x 1 | 1600 / 3 | 1 | 7 / 3 | 8 / 3 | 8 / 3 | 0 | 0 | 1 / 15 |
F (х3) | 16000 | 0 | 35 | 40 | 40 | 0 | 0 | 2 |
Оптимальний план можна записати так:
x1 = 533 1 / 3
F (X) = 30 • 533 1 / 3 = 16 000
Побудуємо двоїсту задачу за такими правилами.
1. Кількість змінних в двоїстої завданню дорівнює кількості нерівностей у вихідній.
2. Матриця коефіцієнтів двоїстої задачі є транспонованою до матриці коефіцієнтів вихідної.
3. Система обмежень двоїстої задачі записується у вигляді нерівностей протилежного сенсу нерівенствам системи обмежень прямої задачі.
Стовпець вільних членів вихідної задачі є рядком коефіцієнтів для цільової функції двоїстої. Цільова функція в одній задачі максимізує, в іншій мінімізується.
Розширена матриця A.
3 | 4 | 3 | 3 | 2800 |
2 | 0 | 2 | 3 | 3000 |
15 | 35 | 40 | 40 | 8000 |
30 | 35 | 40 | 40 | 0 |
Транспонована матриця A T .
3 | 2 | 15 | 30 |
4 | 0 | 35 | 35 |
3 | 2 | 40 | 40 |
3 | 3 | 40 | 40 |
2800 | 3000 | 8000 | 0 |
Умовам невід'ємності змінних вихідної задачі відповідають нерівності-обмеження двоїстої, спрямовані в інший бік. І навпаки, нерівенствам-обмеженням у вихідній відповідають умови невід'ємності в двоїстої.
Нерівності, з'єднані стрілочками (↔), називаються сполученими .
3y1 + 2y2 + 15y3 ≥30
4у1 + 35y3 ≥35
3y1 + 2y2 + 40y3 ≥40
3y1 + 3y2 + 40y3 ≥40
2800y1 + 3000y2 + 8000y3 → min
у1 ≥ 0
y2 ≥ 0
y3 ≥ 0
Вихідна задача I |
| Двоїста задача II |
x 1 ≥ 0 | ↔ | 3y 1 + 2y 2 + 15y 3 ≥30 |
x 2 ≥ 0 | ↔ | 4y 1 + 35y 3 ≥35 |
x 3 ≥ 0 | ↔ | 3y 1 + 2y 2 + 40y 3 ≥40 |
x 4 ≥ 0 | ↔ | 3y 1 + 3y 2 + 40y 3 ≥40 |
30x 1 + 35x 2 + 40x 3 + 40x 4 → max | ↔ | 2800y 1 + 3000y 2 + 8000y 3 → min |
3x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 ≤2800 | ↔ | y 1 ≥ 0 |
2x 1 + 2x 3 + 3x 4 ≤3000 | ↔ | y 2 ≥ 0 |
15x 1 + 35x 2 + 40x 3 + 40x 4 ≤8000 | ↔ | y 3 ≥ 0 |
Рішення двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів. Використовуючи останню ітерацію прямої задачі знайдемо, оптимальний план двоїстої задачі.
З теореми подвійності випливає, що Y = C * A -1 .
Складемо матрицю A з компонентів векторів, що входять в оптимальний базис.
1 | 0 | 3 |
0 | 1 | 2 |
0 | 0 | 15 |
A = (A 5 , A 6 , A 1 ) =
Визначивши зворотну матрицю D = А -1 через алгебраїчні доповнення, отримаємо:
1 | 0 | -1/5 |
0 | 1 | -2/15 |
0 | 0 | 1/15 |
D = A -1 =
Як видно з останнього плану симплексного таблиці, зворотна матриця A -1 розташована в шпальтах додаткових змінних.
1 | 0 | -1/5 |
0 | 1 | -2/15 |
0 | 0 | 1/15 |
Тоді Y = C * A -1 =
( 0, 0, 30) ∙ = (0, 0, 2)
Оптимальний план двоїстої задачі дорівнює:
y 1 = 0
y 2 = 0
y 3 = 2
Z (Y) = 2800 * 0 + 3000 * 0 + 8000 * 2 = 16000
Критерій оптимальності отриманого рішення.
Якщо існують такі допустимі рішення X і Y прямій і двоїстої задач, для яких виконується рівність цільових функцій F (x) = Z (y), то ці рішення х і у є оптимальними рішеннями прямої і двоїстої задач відповідно.
Визначення дефіцитних та недефіцитних (надлишкових ) ресурсів .
Друга теорема подвійності. Підставами оптимальний план прямої задачі в систему обмеженою математичної моделі:
3 * 533 +1 / 3 + 4 * 0 + 3 * 0 + 3 * 0 = 1600 <2800
2 * 533 1 / 3 + 0 * 0 + 2 * 0 + 3 * 0 = 1066 2 / 3 <3000
15 * 533 1 / 3 + 35 * 0 + 40 * 0 + 40 * 0 = 8000 = 8000
1-е обмеження виконується як сувора нерівність, тобто ресурс 1-го виду витрачений не повністю. Значить, цей ресурс не є дефіцитним і його оцінка в оптимальному плані y1 = 0.
Невикористаний економічний резерв ресурсу 1 складає 1200 (2800-1600).
Цей резерв не може бути використаний в оптимальному плані, але вказує на можливість змін в об'єкті моделювання ( наприклад, резерв ресурсу можна продати або здати в оренду).
2-е обмеження виконується як сувора нерівність, тобто ресурс 2-го виду витрачений не повністю. Значить, цей ресурс не є дефіцитним і його оцінка в оптимальному плані y2 = 0.
Невикористаний економічний резерв ресурсу 2 становить:
1933 1 / 3 (3000-1066 2 / 3 ).
Цей резерв не може бути використаний в оптимальному плані, але вказує на можливість змін в об'єкті моделювання (наприклад, резерв ресурсу можна продати або здати в оренду).
3-е обмеження прямої задачі виконується як рівність. Це означає, що 3-ий ресурс повністю використовується в оптимальному плані, є дефіцитним і його оцінка згідно з другою теоремі подвійності відмінна від нуля (y 3 > 0). Таким чином, відмінну від нуля двоїсті оцінки мають лише ті види ресурсів, які повністю використовуються в оптимальному плані.
Тому двоїсті оцінки визначають дефіцитність ресурсів.
Обґрунтування ефективності оптимального плану .
При підстановці оптимальних двоїстих оцінок в систему обмежень двоїстої задачі отримаємо:
3*0 + 2*0 + 15*2 = 30 = 30
4*0 + 0*0 + 35*2 = 70 > 35
3*0 + 2*0 + 40*2 = 80 > 40
3*0 + 3*0 + 40*2 = 80 > 40
1-е обмеження двоїстої задачі виконується як рівність. Це означає, що 1-ий ресурс економічно вигідно використовувати, а його використання передбачено оптимальним планом прямої задачі (x1 > 0).
2-е обмеження виконується як сувора нерівність, тобто ресурс 2-го виду використовувати економічно не вигідно. І є дійсним в оптимальному плані прямої задачі x2 = 0.
Оскільки тіньова (альтернативна) ціна більше ринкової ціни цього продукту, то вигідніше продати ресурси за ринковими цінами. При цьому різниця між цінами (70 - 35 = 35) показує величину зміни цільової функції F (x) при введенні додаткової одиниці хі .
3-е обмеження виконується як сувора нерівність, тобто ресурс 3-го виду використовувати економічно не вигідно. І є дійсним в оптимальному плані прямої задачі x3 = 0. Оскільки тіньова (альтернативна) ціна більше ринкової ціни цього продукту, то вигідніше продати ресурси за ринковими цінами. При цьому різниця між цінами (80 - 40 = 40) показує величину зміни цільової функції F (x) при введенні додаткової одиниці хі.
4-е обмеження виконується як сувора нерівність, тобто ресурс 4-го виду використовувати економічно не вигідно. І він є дійсним в оптимальному плані прямої задачі x4 = 0. Оскільки тіньова (альтернативна) ціна більше ринкової ціни цього продукту, то вигідніше продати ресурси за ринковими цінами. При цьому різниця між цінами (80 - 40 = 40) показує величину зміни цільової функції F (x) при введенні додаткової одиниці хі .
Аналіз стійкості оптимального плану.
Проведемо аналіз стійкості оптимального плану і оцінимо ступінь впливу зміни ресурсів на значення цільової функції.
Чутливість рішення до зміни коефіцієнтів цільової функції . Так як будь-які зміни коефіцієнтів цільової функції впливають на оптимальність отриманого раніше рішення, то наша мета - знайти такі діапазони зміни коефіцієнтів в цільової функції (розглядаючи кожен з коефіцієнтів окремо), при яких оптимальні значення змінних залишаються незмінними.
Нехай кожне значення параметра цільової функції зміниться на Δсi . Знайдемо інтервали, при яких буде економічно вигідне використання ресурсів.
Допустимі діапазони зміни коефіцієнтів в цільової функції визначаться зі співвідношень:
1-ий параметр цільової функції може змінюватися в межах:
∆c-1 = min [yk/d1k] для d1k>0.
∆c+1 = |max[yk/d1k]| для d1k<0.
Таким чином, 1-параметр може бути зменшений на 30 або збільшений на 0 Інтервал зміни дорівнює:
(c1 - ∆c1-; c1 + ∆c1+)
[30-30; 30+0] = [0;30]
Якщо значення c1 лежатиме в даному інтервалі, то оптимальний план не зміниться.
Чутливість рішення до зміни запасів сировини . З теореми про оцінки відомо, що коливання величини bi призводить до збільшення або зменшення f (X). Воно визначається величиною уі в разі, коли при зміні величин bi значення змінних уi в оптимальному плані відповідної двоїстої задачі залишаються незмінними.
Тому необхідно знайти такі інтервали зміни кожного з вільних членів системи обмежень вихідної ЗЛП, в яких оптимальний план двоїстої задачі не змінювався б.
Знайдемо інтервали стійкості ресурсів .
Нижня межа для: Δb – 1
∆b-1 = min[xk/dk1] для dk1>0.
Таким чином, 1-ий запас може бути зменшений на 1200.
1-ий вид ресурсу в оптимальному плані недовикористаний, є недефіцитним. Збільшення даного ресурсу призведе лише до зростання його залишку. При цьому структурних змін в оптимальному плані не буде, так як двоїста оцінка y1 = 0.
Іншими словами, верхня межа
Інтервал зміни дорівнює:
(b1 - Δb - 1 ; + ∞)
[2800-1200 ; + ∞] = [1600; + ∞]
Нижня межа для: ∆b-2 = min[xk/dk2] для dk2>0.
Таким чином, 2-ий запас може бути зменшений на 5800 / 3
2-ий вид ресурсу в оптимальному плані недовикористаний, є недефіцитним. Збільшення даного ресурсу призведе лише до зростання його залишку. При цьому структурних змін в оптимальному плані не буде, так як двоїста оцінка y 2 = 0.
Іншими словами, верхня межа
b + 2 = + ∞
Інтервал зміни дорівнює:
(b 2 - Δb - 2 ; + ∞) [3000- 5800 / 3 ; + ∞] = [ 3200 / 3 ; + ∞]
3-ий запас може змінюватися в межах: ∆b-3 = min[xk/dk3] для dk3>0.
Δb + 3 = | max [xk/dk3 ] | для dk3 <0.
Таким чином, 3-ий запас може бути зменшений на 8000 або збільшений на 6000 Інтервал зміни дорівнює:
(b 3 - Δb - 3; b3 + Δb + 3 )
[8000 -8000; 8000 + 6000] = [0; 14000]
В оптимальний план не увійшла основна змінна x1 , тобто її не вигідно використовувати.
Визначимо максимально можливе значення в рамках отриманих двоїстих оцінок:
x1 може змінюватися в межах:
0 ≤ Δb 1 ≤ 1600 / 3
[2800 1600 / 3 ; 2800] = [ 6800 / 3 ; 2800]
В оптимальний план не увійшла основна змінна x2 , тобто її не вигідно використовувати. Визначимо максимально можливе значення в рамках отриманих двоїстих оцінок: x2 може змінюватися в межах:
-400 ≤ Δb 2 ≤ 1600 / 7
[3000- 1600 / 7 ; 3000] = [ 19400 / 7 ; 3000]
Вплив запасів ресурсів на оптимальне рішення прямої задачі .
Величина двоїстої оцінки показує, на скільки зростає значення цільової функції F (x) при збільшенні дефіцитного ресурсу на одиницю.
Нехай запас ресурсу №1 змінився на величину Δb1 = 4.
Новий запас цього ресурсу дорівнює b1 + Δb1 = 2800 + 4 = 2804 і лежить в інтервалі стійкості, тому його вплив на величину максимальної вартості продукції можна визначити за допомогою теореми про оцінки.
ΔZ1 = y1 Δb 1 = 0 • 4 = 0
Тоді цільова функція F (x) зміниться на величину:
F (x *) = F (x) + y 1 Δb1= 16000 + 0 • 4 = 16 000
Витрати ΔP на придбання 4 одиниць 1- го ресурсу:
ΔP = p 1 Δb 1 = 45 • 4 = 180
Таким чином, даний захід є неефективним (Δ 1 <ΔP)
Нехай запас ресурсу №2 змінився на величину Δb2 = 5.
Новий запас цього ресурсу дорівнює b 2 + Δb 2 = 3000 + 5 = 3005 і лежить в інтервалі стійкості, тому його вплив на величину максимальної вартості продукції можна визначити за допомогою теореми про оцінки.
ΔZ 2 = y 2 Δb 2 = 0 • 5 = 0
Тоді цільова функція F (x) зміниться на величину:
F (x *) = F (x) + y 2 Δb 2 = 16000 + 0 • 5 = 16 000
Витрати ΔP на придбання 5 одиниць 2-го ресурсу:
ΔP = p 2 Δb 2 = 45 • 5 = 225
Таким чином, даний захід є неефективним (Δ 2 <ΔP)
Нехай запас ресурсу №3 змінився на величину Δb3 = 45.
Новий запас цього ресурсу дорівнює b 3 + Δb 3 = 8000 + 45 = 8045 і лежить в інтервалі стійкості, тому його вплив на величину максимальної вартості продукції можна визначити за допомогою теореми про оцінки.
ΔZ3 = y3 Δb3 = 2 • 45 = 90
Тоді цільова функція F (x) зміниться на величину:
F ( x *) = F (x) + y3 Δb3 = 16000 + 2 • 45 = 16090
Витрати ΔP на придбання 45 одиниць 3-го ресурсу:
ΔP = p3 Δb3 = 45 • 45 = 2025
Таким чином, даний захід є неефективним (Δ 3 <ΔP)
Аналіз оптимального плану при зміні ресурсів .
Двоїсті оцінки служать інструментом визначення ефективності окремих господарських рішень (технологічних способів), з їх допомогою можна визначати вигідність виробництва нових виробів, ефективність нових технологічних способів:
∆ = ∑aijyi - cj
Якщо Δ ≤ 0 - вигідно.
Якщо Δ> 0 - невигідно.
Оцінимо доцільність включення в план нового виду продукції ціною 45 одиниць, якщо норми витрат ресурсів 4, 5, 45 одиниць:
4 * 0 + 5 * 0 + 45 * 2 = 90> 45
Оскільки реальна ціна нової групи продукції більше, то виробництво продукції нового виду не вигідно.
Складемо субоптимальні варіанти плану з урахуванням змін вихідних даних моделі (таблиці).
Нехай 1-ий ресурс збільшили на 4
Базисні змінні | Значення базисних змінних | Коефіцієнт структурних зрушень kc | множення kc на (4) | Розрахунок варіанту плану |
x 5 | 3 | 1 | 4 | 7 |
x 6 | 2 | 0 | 0 | 2 |
x 1 | 15 | 0 | 0 | 15 |
F (X) | 16000 | 0 | 0 | 16000 |
В результаті зміни даного ресурсу, об'єм 5-ої групи збільшився на (4), обсяг 6-ий групи збільшився на (0), обсяг 1-ої групи збільшився на (0), цільова функція збільшилася.
Categorised in: Статистика
This post was written by dima
