Побудова багатофакторної економетричної моделі з ознаками
6 октября, 2016 5:20 пп Leave your thoughtsЛабораторна робота № 2
Побудова багатофакторної економетричної моделі з ознаками:
Мультиколініарності змінних
З автокореляцією залишків
З ознакою гетероскедатичності залишків
План:
Побудова багатофакторної економетричної моделі з ознакою мультиколініарності пояснювальних змінних.
Постановка задачі.
Перевірка явища мультиколініарності за алгоритмом Феррара-Глобера.
Звільнення від мультиколініарності, якщо вона виявлена.
Висновки.
Побудова багатофакторної економетричної моделі з ознакою автокореляції залишків.
Постановка задачі.
Перевірка автокореляції залишків за критерієм Дарвіна-Уотсона.
Звільнення від автокореляції залишків, якщо вона виявлена.
Висновки.
Побудова багатофакторної економетричної моделі з ознакою гетероскедатичності залишків.
Постановка задачі.
Виявлення гетероскедатичності залишків за критерієм Гольдфельда-Квандта Глейзера.
Звільнення від гетероскедатичності залишків, якщо вона виявлена.
Висновки.
Задача:
Серед пояснювальних змінних x1, х2, х3 наведеної сукупності спостережень (заробітної плати, обсягу трудових ресурсів…) виявити явище мультиколініарності і якщо воно є, звільнитись від нього.
Для багатофакторної економетричної моделі yt=â0+ â1x1t+ â2x2t+ â3x3t+ut перевірити наявність автокореляції залишків і в разі виявлення, звільнитись від неї.
Для багатофакторної економетричної моделі yt=â0+ â1x1t+ â2X2t+ â3x3t+ut перевірити наявність гетероскедатичності залишків і в разі виявлення, звільнитись від неї.
t | yt | X0 | X1t | X2t | X3t |
1 | 50,27 | 1 | 8,21 | 10,71 | 7,3 |
2 | 49,34 | 1 | 9,4 | 10,5 | 8,4 |
3 | 60,27 | 1 | 10,28 | 11,8 | 10,1 |
4 | 50,95 | 1 | 13,25 | 10,08 | 6,9 |
5 | 67,34 | 1 | 12,3 | 12,4 | 8,4 |
6 | 72,35 | 1 | 11,57 | 20,01 | 16,7 |
7 | 77,28 | 1 | 11,45 | 10,69 | 11,5 |
8 | 86,14 | 1 | 10,4 | 13,9 | 10,6 |
9 | 91,34 | 1 | 11,6 | 14,5 | 11,4 |
10 | 97,34 | 1 | 9,8 | 14,7 | 10,1 |
11 | 105,02 | 1 | 9,81 | 10,8 | 9,4 |
12 | 110,35 | 1 | 10,7 | 19,8 | 9,4 |
13 | 111,04 | 1 | 9,84 | 13,27 | 10,8 |
14 | 119,34 | 1 | 12,7 | 16,2 | 11,5 |
15 | 134,27 | 1 | 13,7 | 16,8 | 9,4 |
16 | 130,21 | 1 | 12,08 | 15,2 | 11,5 |
17 | 148,37 | 1 | 14,2 | 18,9 | 11,9 |
18 | 141,62 | 1 | 14,05 | 15,27 | 20,3 |
Рішення.
Теоретичне лінійне рівняння множинної регресії має вигляд:
Y = β 0 + β 1 х 1 + β 2 х 2 + ... + β m х m + ε
β 0- вільний член, що визначає значення Y , у разі, коли всі пояснювальні змінні xj рівні 0.
Перш ніж перейти до визначення знаходження оцінок коефіцієнтів регресії, необхідно перевірити ряд передумов МНК.
Передумови МНК:
Математичне сподівання випадкового відхилення εі одне 0 для всіх спостережень:
(M(εі )=0).
Гетероскедастічность (сталість дисперсій відхилень).
Дисперсія випадкових відхилень ε I постійна: D (εі ) = D (εj) = S 2 для будь-яких i та j.
Відсутність автокореляції.
Випадкове відхилення має бути незалежно від пояснюють змінних: Y eixi = 0.
Модель є лінійною щодо параметрів.
Відсутність мультиколінеарності. Між пояснювальними змінними відсутня сувора (сильна) лінійна залежність.
Помилки εі мають нормальний розподіл. Здійснимість даної передумови важлива для перевірки статистичних гіпотез та побудови довірливих інтервалів.
Емпіричне рівняння множинної регресії представимо у вигляді:
Y = b 0 + b 1 х1 + b 1 х 1 + ... + bmxm + e, де
b 0 , b 1 , ..., bm - оцінки теоретичних значень β0 , β 1 , β 2 , ..., бетаm коефіцієнтів регресії (емпіричні коефіцієнти регресії);
e - оцінка відхилення ε.
При виконанні передумов МНК щодо помилок εі , оцінки b0 , b1 , ..., bm параметрів β0 , β1 , β2 , ..., бетаm множинної лінійної регресії за МНК є незміщеними, ефективними і заможними (тобто BLUE-оцінками). Для оцінки параметрів рівняння множинної регресії застосовують МНК.
Оцінка рівняння регресії . Визначимо вектор оцінок коефіцієнтів регресії. Відповідно до методу найменших квадратів, вектор s виходить з виразу: s = (xt ∙x) -1 xt ∙у
Матриця X Матриця Y
|
|
Матриця xt
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
8.21 | 9.4 | 10.28 | 13.25 | 12.3 | 11.57 | 11.45 | 10.4 | 11.6 | 9.8 | 9.81 | 10.7 | 9.84 | 12.7 | 13.7 | 12.08 | 14.2 | 14.05 |
10.71 | 10.5 | 11.8 | 10.08 | 12.4 | 20.01 | 10.69 | 13.9 | 14.5 | 14.7 | 10.8 | 19.8 | 13.27 | 16.2 | 16.8 | 15.2 | 18.9 | 15.27 |
7.3 | 8.4 | 10.1 | 6.9 | 8.4 | 16.7 | 11.5 | 10.6 | 11.4 | 10.1 | 9.4 | 9.4 | 10.8 | 11.5 | 9.4 | 11.5 | 11.9 | 20.3 |
Множимо матриці,(xt ∙х)
18 | 205.34 | 255.53 | 195.6 |
205.34 | 2393.52 | 2955.57 | 2270.83 |
255.53 | 2955.57 | 3804.66 | 2862.35 |
195.6 | 2270.83 | 2862.35 | 2299.42 |
У матриці, (xt ∙х) число 18, що знаходиться на перетині 1-го рядка і 1-го стовпця, отримано як сума добутків елементів 1-го рядка матриці (xt ) та 1-го стовпця матриці (х).
1702.84 |
19959.03 |
25270.37 |
19337.99 |
Множимо матриці,(xt ∙у )
Знаходимо зворотну матрицю (xt ∙х) -1
2.79 | -0.19 | -0.0351 | -0.00101 |
-0.19 | 0.0258 | -0.00403 | -0.00387 |
-0.0351 | -0.00403 | 0.00804 | -0.00304 |
-0.00101 | -0.00387 | -0.00304 | 0.00812 |
Вектор оцінок коефіцієнтів регресії дорівнює:
-48.62 |
6.11 |
4.13 |
1.38 |
Y (х) = (xt ∙х) -1 xt ∙у =
Рівняння регресії (оцінка рівняння регресії)
Y = -48.62 + 6.11х1 + 4.13х2 + 1.38х3
Матриця парних коефіцієнтів кореляції R. Число спостережень n = 18. Число незалежних змінних в моделі 3, а число регресорів з урахуванням одиничного вектора дорівнює числу невідомих коефіцієнтів. З урахуванням ознаки Y, розмірність матриці стає рівним 5. Матриця, незалежних змінних Х має розмірність (18 х 5).
Матриця, складена з Y та х
1 | 50.27 | 8.21 | 10.71 | 7.3 |
1 | 49.34 | 9.4 | 10.5 | 8.4 |
1 | 60.27 | 10.28 | 11.8 | 10.1 |
1 | 50.95 | 13.25 | 10.08 | 6.9 |
1 | 67.34 | 12.3 | 12.4 | 8.4 |
1 | 72.35 | 11.57 | 20.01 | 16.7 |
1 | 77.28 | 11.45 | 10.69 | 11.5 |
1 | 86.14 | 10.4 | 13.9 | 10.6 |
1 | 91.34 | 11.6 | 14.5 | 11.4 |
1 | 97.34 | 9.8 | 14.7 | 10.1 |
1 | 105.02 | 9.81 | 10.8 | 9.4 |
1 | 110.35 | 10.7 | 19.8 | 9.4 |
1 | 111.04 | 9.84 | 13.27 | 10.8 |
1 | 119.34 | 12.7 | 16.2 | 11.5 |
1 | 134.27 | 13.7 | 16.8 | 9.4 |
1 | 130.21 | 12.08 | 15.2 | 11.5 |
1 | 148.37 | 14.2 | 18.9 | 11.9 |
1 | 141.62 | 14.05 | 15.27 | 20.3 |
Транспонована матриця.
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
50.27 | 49.34 | 60.27 | 50.95 | 67.34 | 72.35 | 77.28 | 86.14 | 91.34 | 97.34 | 105.02 | 110.35 | 111.04 | 119.34 | 134.27 | 130.21 | 148.37 | 141.62 |
8.21 | 9.4 | 10.28 | 13.25 | 12.3 | 11.57 | 11.45 | 10.4 | 11.6 | 9.8 | 9.81 | 10.7 | 9.84 | 12.7 | 13.7 | 12.08 | 14.2 | 14.05 |
10.71 | 10.5 | 11.8 | 10.08 | 12.4 | 20.01 | 10.69 | 13.9 | 14.5 | 14.7 | 10.8 | 19.8 | 13.27 | 16.2 | 16.8 | 15.2 | 18.9 | 15.27 |
7.3 | 8.4 | 10.1 | 6.9 | 8.4 | 16.7 | 11.5 | 10.6 | 11.4 | 10.1 | 9.4 | 9.4 | 10.8 | 11.5 | 9.4 | 11.5 | 11.9 | 20.3 |
Матриця (аt ∙a)
18 | 1702.84 | 205.34 | 255.53 | 195.6 |
1702.84 | 179000.65 | 19959.03 | 25270.37 | 19337.99 |
205.34 | 19959.03 | 2393.52 | 2955.57 | 2270.83 |
255.53 | 25270.37 | 2955.57 | 3804.66 | 2862.35 |
195.6 | 19337.99 | 2270.83 | 2862.35 | 2299.42 |
Отримана матриця має наступні відповідності:
Σn | Σy | Σx1 | Σx2 | Σx 3 |
Σy | Σy2 | Σx1 y | Σx2 y | Σx 3 y |
Σx1 | Σyx1 | Σx1 х2 | Σx2 x1 | Σx3 x1 |
Σx2 | Σyx2 | Σx1 x2 | Σx2 2 | Σx3 x2 |
Σx3 | Σyx3 | Σx1 x 3 | Σx2x3 | Σx3 2 |
Знайдемо парні коефіцієнти кореляції за формулою:
; 
; 
; 
Визначення для x та y
| Σxі |
| Σyі |
| Σxі Yі | |
Для y та x 1 | 205.34 | 11.408 | 1702.84 | 94.602 | 19959.029 | 1108.835 |
Для y та x 2 | 255.53 | 14.196 | 1702.84 | 94.602 | 25270.374 | 1403.91 |
Для y та x 3 | 195.6 | 10.867 | 1702.84 | 94.602 | 19337.986 | 1074.333 |
Для x 1 та x 2 | 255.53 | 14.196 | 205.34 | 11.408 | 2955.574 | 164.199 |
Для x 1 та x 3 | 195.6 | 10.867 | 205.34 | 11.408 | 2270.831 | 126.157 |
Для x 2 та x 3 | 195.6 | 10.867 | 255.53 | 14.196 | 2862.354 | 159.02 |
Визначення x та y
|
|
|
|
|
Для y та x 1 | 2.836 | 994.9 | 1.684 | 31.542 |
Для y та x 2 | 9.841 | 994.9 | 3.137 | 31.542 |
Для y та x 3 | 9.661 | 994.9 | 3.108 | 31.542 |
Для x 1 та x 2 | 9.841 | 2.836 | 3.137 | 1.684 |
Для x 1 та x 3 | 9.661 | 2.836 | 3.108 | 1.684 |
Для x 2 та x 3 | 9.661 | 9.841 | 3.108 | 3.137 |
Матриця парних коефіцієнтів кореляції R:
- | y | x 1 | x 2 | x 3 |
y | 1 | 0.558 | 0.616 | 0.472 |
x 1 | 0.558 | 1 | 0.426 | 0.419 |
x 2 | 0.616 | 0.426 | 1 | 0.488 |
x 3 | 0.472 | 0.419 | 0.488 | 1 |
Колініарність - залежність між факторами. Якщо є критерій мультіколініарності, може бути прийнято дотримання наступних нерівностей:
r (xjy)> r (xk xy); r (xk y)> r (xk xj).
Якщо одна з нерівностей не дотримується, то виключається той параметр xk або xj, зв'язок якого з результативним показником Y виявляється найменш тісним.
Для відбору найбільш значущих чинників хі враховуються наступні умови:
- зв'язок між результативним показником і факторним повинен бути вище міжфакторного зв'язку;
- зв'язок між факторами повинен бути не більше 0.7.
Якщо в матриці є міжфакторний коефіцієнт кореляції rxjxi > 0.7, то в даній моделі множинної регресії існує мультиколініарність .;
- при високому міжфакторному зв'язку показників обираються фактори з меншим коефіцієнтом кореляції між ними.
Якщо факторні змінні зв'язані строгою функціональною залежністю, то говорять про повну мультіколініарность. Вид мультіколінеарності, при якому факторні змінні зв'язані деякою стохастичною залежністю, називається частковою. Якщо між факторними змінними є високий ступінь кореляції, то матриця (xtx) близька до виродженої, тобто det (xtx ≧ 0) (чим ближче до 0 показник матриці міжфакторної кореляції, тим сильніше мультиколініарності факторів і не надійніше результати множинної регресії).
В нашому випадку все парні коефіцієнти кореляції | r | <0,7, що говорить про відсутність мультиколінеарності факторів.
Аналіз першого рядка цієї матриці дозволяє зробити відбір факторних ознак, які можуть бути включені в модель множинної кореляційної залежності . Факторні ознаки, у яких | r yxi | <0.5 виключають з моделі.
Можна дати наступну якісну інтерпретацію можливих значень коефіцієнта кореляції (за шкалою Чеддока):
якщо | r |> 0.3 - зв'язок практично відсутній;
0.3 ≤ | r | ≤ 0.7 - зв'язок середній;
0.7 ≤ | r | ≤ 0.9 - зв'язок сильний;
| r |> 0.9 - зв'язок дуже сильний.
Перевіримо значущість отриманих парних коефіцієнтів кореляції за допомогою t-критерію Стьюдента. Коефіцієнти, для яких значення t-статистики по модулю більше знайденого критичного значення, вважаються значущими.
Розрахуємо значення t-статистики для r yxi по формулі:
де m = 1 - кількість факторів в рівнянні регресії.
По таблиці Стьюдента знаходимо tтабл:
t крит ( nm-1; α / 2) = (16; 0.025) = 2.12
Оскільки t набл > t крит , то відхиляємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта кореляції.
Іншими словами, коефіцієнт кореляції статистично – значущий.
Розрахуємо значення t-статистики для r yx2 по формулі:
Оскільки t набл > t крит , то відхиляємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта кореляції.
Іншими словами, коефіцієнт кореляції статистично - значущий
Розрахуємо значення t-статистики для ryx3 по формулі:
Оскільки t набл > t крит , то відхиляємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта кореляції.
Іншими словами, коефіцієнт кореляції статистично – значущий.
Таким чином, зв'язок між (y та х∙х1 ), (y та х∙х2 ), (y та х∙х3 ) є істотним.
Найбільший вплив на результативну ознаку надає показник x2 (r = 0.62), це означає, що при побудові моделі він увійде в регресійне рівняння першим.
Тестування та усунення мультиколініарності .
Найбільш повним алгоритмом дослідження мультиколініарності є алгоритм Фаррара-Глобера. З його допомогою тестують три види мультіколлінеарності:
1. Усіх факторів ( χ 2 - хі-квадрат ).
2. Кожного фактора з іншими (критерій Фішера).
3. Кожної пари факторів (критерій Стьюдента).
Перевіримо змінні на мультиколініарності методом Фаррара-Глоубера за першим видом статистичних критеріїв (критерій " χ 2 - хі-квадрат ").
Формула для розрахунку значення статистики Фаррара-Глоубера:
χ 2 = - [n-1-(2m +5) / 6] ln (det [R])
де m = 3 - кількість факторів,
n = 18 - кількість спостережень,
det [R] – визначник матриці парних коефіцієнтів кореляції R.
Порівнюємо його з табличним значенням при v = m / 2 (m-1) = 3 ступенях свободи і рівні значущості α.
Якщо χ 2 > χ табл.2 (див. дані таблиці) , то у векторі факторів присутня мультиколініарності.
χ табл.2 (3; 0.05) = 7.81473
Перевіримо змінні на мультиколініарності за іншим видом статистичних критеріїв (критерій Фішера).
Визначаємо зворотну матрицю D = R -1 :
2 | -0.65 | -0.82 | -0.27 |
-0.65 | 1.53 | -0.12 | -0.28 |
-0.82 | -0.12 | 1.76 | -0.42 |
-0.27 | -0.28 | -0.42 | 1.45 |
Обчислюємо F-критерії Фішера:
де dkk - діагональні елементи матриці.
Розраховані значення критеріїв порівнюються з табличними при v1 = nm і v 2 = m-1 ступенях свободи і рівні значущості α.
Якщо Fк > F Табл , то k-я змінна у мультіколініарності з іншими змінними.
v 1 = 18-3 = 15; v 2 = 3-1 = 2
F Табл (15, 2) = 19.4
Оскільки F1 ≤ F табл , то змінна y немультіколініарності з іншими змінними.
Оскільки F2 ≤ F табл , то змінна x1 немультіколлініарна з іншими.
Оскільки F3 ≤ F табл , то змінна x2 немультіколлінеарна з іншими.
Оскільки F4 ≤ Fтабл , то змінна x3 немультіколлінеарна з іншими.
Перевіримо змінні на мультиколініарність за третім видом статистичних критеріїв (критерій Стьюдента). Для цього знайдемо приватні коефіцієнти кореляції.
Приватні коефіцієнти кореляції . Коефіцієнт приватної кореляції відрізняється від простого коефіцієнта лінійної парної кореляції тим, що він вимірює парну кореляцію відповідних ознак (y та хі ) за умови, що вплив на них інших факторів (хj) усунуто .
На підставі приватних коефіцієнтів можна зробити висновок про обґрунтованість включення змінних в регресійну модель. Якщо значення коефіцієнта мале або він незначущий, то це означає, що зв'язок між даними фактором і результативною змінної або дуже слабкий, або зовсім відсутній, тому фактор можна виключити з моделі. Можна зробити висновок, що жоден з факторів не слід використовувати при побудові регресійного рівняння.
Модель регресії в стандартному масштабі. Модель регресії в стандартному масштабі припускає, що всі значення досліджуваних ознак переводяться в стандарти (стандартизовані значення) за формулами:
; 
де х ji - значення змінної х ji в i-ом спостереженні.
Таким чином, початок відліку кожної стандартизованої змінної поєднується з її середнім значенням, а в якості одиниці зміни приймається її середнє квадратичне відхилення S . Якщо зв'язок між змінними в природному масштабі лінійна, то зміна початку відліку та одиниці виміру цієї властивості не порушать, так що і стандартизовані змінні будуть пов'язані лінійним співвідношенням : ty = ∑βjtxj
Для оцінки β-коеффціентов застосуємо МНК. При цьому система нормальних рівнянь буде мати вигляд:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Для наших даних (беремо з матриці парних коефіцієнтів кореляції):
0.558 = β1 + 0.426β2 + 0.419β3
0.616 = 0.426β1 + β2 + 0.488β3
0.472 = 0.419β1 + 0.488β2 + β3
Дану систему лінійних рівнянь вирішуємо методом Гаусса:
β1 = 0.326; β2 = 0.411; β3 = 0.136;
Стандартизована форма рівняння регресії має вигляд:
y0 = 0.326x1 + 0.411x2 + 0.136x3
Знайдені з даної системи β-коефіцієнти дозволяють визначити значення коефіцієнтів в регресії в природному масштабі за формулами:
; 
Аналіз параметрів рівняння регресії. Перейдемо до статистичному аналізу отриманого рівняння регресії: перевірці значимості рівняння і його коефіцієнтів, дослідженню абсолютних і відносних помилок апроксимації. Для незміщеної оцінки дисперсії проробимо наступні обчислення: Незміщена помилка ε = Y - Y (x) = Y - х ∙s (абсолютна помилка апроксимації)
Y | Y (x) | ε = Y - Y (x) | ε 2 | (Y-Yср) 2 | | ε /Y | |
50.27 | 55.78 | -5.51 | 30.31 | 1965.35 | 0.11 |
49.34 | 63.69 | -14.35 | 205.88 | 2048.67 | 0.29 |
60.27 | 76.77 | -16.5 | 272.21 | 1178.7 | 0.27 |
50.95 | 83.39 | -32.44 | 1052.66 | 1905.52 | 0.64 |
67.34 | 89.24 | -21.9 | 479.53 | 743.23 | 0.33 |
72.35 | 127.63 | -55.28 | 3055.54 | 495.16 | 0.76 |
77.28 | 81.26 | -3.98 | 15.82 | 300.06 | 0.0515 |
86.14 | 86.86 | -0.72 | 0.52 | 71.61 | 0.00836 |
91.34 | 97.76 | -6.42 | 41.28 | 10.64 | 0.0703 |
97.34 | 85.81 | 11.53 | 132.92 | 7.5 | 0.12 |
105.02 | 68.81 | 36.21 | 1311.38 | 108.53 | 0.34 |
110.35 | 111.4 | -1.05 | 1.1 | 247.99 | 0.00949 |
111.04 | 81.12 | 29.92 | 895.5 | 270.2 | 0.27 |
119.34 | 111.64 | 7.7 | 59.34 | 611.96 | 0.0645 |
134.27 | 117.33 | 16.94 | 287.04 | 1573.53 | 0.13 |
130.21 | 103.72 | 26.49 | 701.56 | 1267.91 | 0.2 |
148.37 | 132.49 | 15.88 | 252.1 | 2890.97 | 0.11 |
141.62 | 128.16 | 13.46 | 181.28 | 2210.67 | 0.0951 |
|
| 0 | 8975.95 | 17908.2 | 3.87 |
Середня помилка апроксимації
Оцінка дисперсії дорівнює:
Se2 = (Y – х ∙Y(х))t (Y - х∙Y(х)) = 8975.95
Незміщена оцінка дисперсії дорівнює:
Оцінка середньоквадратичного відхилення ( стандартна помилка для оцінки Y ):
Знайдемо оцінку коваріаційної матриці вектора k = S • (хtx) -1.
2,787 | -0,195 | -0,0351 | -0,00101 |
-0,195 | 0,0258 | -0,00403 | -0,00387 |
-0,0351 | -0,00403 | 0,00804 | -0,00304 |
-0,00101 | -0,00387 | -0,00304 | 0,00812 |
70,567 | -4,933 | -0,888 | -0,0256 |
-4,933 | 0,653 | -0,102 | -0,0979 |
-0,888 | -0,102 | 0,204 | -0,077 |
-0,0256 | -0,0979 | -0,077 | 0,206 |
k(x) =25.32∙ =
Дисперсії параметрів моделі визначаються співвідношенням S i 2 = kіі , тобто це елементи, що лежать на головній діагоналі.
Показники тісноти зв'язку факторів з результатом .
Якщо факторні ознаки різні по своїй суті і (або) мають різні одиниці виміру, то коефіцієнти регресії bj при різних факторах є незрівняними. Тому рівняння регресії доповнюють сумірними показниками тісноти зв'язку фактора з результатом, що дозволяє ранжувати фактори за силою впливу на результат. До таких показників тісноти зв'язку відносять: приватні коефіцієнти еластичності, β-коефіцієнти, приватні коефіцієнти кореляції.
Приватні коефіцієнти еластичності . З метою розширення можливостей змістовного аналізу моделі регресії використовуються приватні коефіцієнти еластичності, які визначаються за формулою:
Приватний коефіцієнт еластичності показує, наскільки відсотків в середньому змінюється ознака-результат у зі збільшенням ознаки-фактора х j на 1% від свого середнього рівня при фіксованому положенні інших факторів моделі.
Приватний коефіцієнт еластичності | E1 | <1
Отже, його вплив на результативну ознаку Y незначний.
Приватний коефіцієнт еластичності | E2 | <1
Отже, його вплив на результативну ознаку Y незначний.
Приватний коефіцієнт еластичності | E3 | <1
Отже, його вплив на результативну ознаку Y незначний.
Стандартизовані приватні коефіцієнти регресії.
Стандартизовані приватні коефіцієнти регресії - β-коефіцієнти (бета J ) показують, на яку частину свого середнього квадратичного відхилення S (у) зміниться ознака-результат y із зміною відповідного фактора х j на величину свого середнього квадратичного відхилення (S хj) при незмінному впливі інших факторів (що входять в рівняння). По максимальному бета J можна судити, який фактор сильніше впливає на результат Y. За коефіцієнтами еластичності і β-коефіцієнтам можуть бути зроблені протилежні висновки. Причини цього: а) варіація одного фактора дуже велика; б) різноспрямований вплив факторів на результат. Коефіцієнт бета (βJ) може також інтерпретуватися як показник прямого (безпосереднього) впливу j -ого фактора (хj) на результат (y). Під множинної регресії j -ий фактор надає не тільки прямий, а й непрямий (опосередковане) вплив на результат (тобто вплив через інші чинники моделі).
Непрямий вплив вимірюється величиною: ∑βirxj,xi , де m - число факторів в моделі.
Повний вплив j-ого фактора на результат рівне сумі прямого і непрямого впливів вимірює коефіцієнт лінійної парної кореляції даного чинника і результату - rxjy .
Так для нашого прикладу безпосередній вплив фактора x1 на результат Y в рівнянні регресії вимірюється βj (бета J) та становить 0.326 ; непрямий (опосередкований) вплив даного чинника на результат визначається як:
rx1x2β2 = 0,426 ∙ 0,411 = 0,1751.
Порівняльна оцінка впливу аналізованих чинників на результативний ознака визначається:
- середнім коефіцієнтом еластичності, що показує на скільки відсотків середньому по сукупності зміниться результат y від своєї середньої величини при зміні фактора хі на 1% від свого середнього значення;
- β-коефіцієнти, що показують, що, якщо величина фактора зміниться на одне середньоквадратичне відхилення Sxi , то значення результативної ознаки зміниться в середньому на β свого середньоквадратичного відхилення;
- частку кожного фактора в загальній варіації результативної ознаки визначають коефіцієнти роздільної детермінації:
d2i = ryxiβi.
d12 = 0,56 • 0,326 = 0,18
d2 2 = 0,62 • 0,411 = 0,25
d 32 = 0,47 • 0,136 = 0,0641
При цьому має виконуватися рівність:
∑d i 2 = R2 = 0.35
Оцінка значення результативної ознаки при заданих значеннях факторів .
Y (0.0,0.0,0.0) = -48.54 + 6.11 * 0.0 + 4.11 * 0.0 + 1.38 * 0.0 = -48.54
Довірчі інтервали з імовірністю 0.95 для середнього значення результативної ознаки M (Y).
S 2 = х 0t(хtx) -1 х0 де
1 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
X 0 =
х0t = [1; 0.0; 0.0; 0.0]
2,766 | -0,193 | -0,0349 | -0,00147 |
-0,193 | 0,0256 | -0,00406 | -0,00382 |
-0,0349 | -0,00406 | 0,00805 | -0,00304 |
-0,00147 | -0,00382 | -0,00304 | 0,00811 |
(хtx) -1 =
Множимо матриці X 0t та (хtx) -1
2.77 |
0 |
0 |
0 |
X 0t та (хtx) -1 =
Множимо отриману матрицю на x0, знаходимо S 2 = 2.77
(Y – t*SY ; Y + t*SY ),
где t (18-4-1;0.05/2) = 2.145 знаходимо по таблице Стьюдента.
(-48.54 – 2.145*42.11 ; -48.54 + 2.145*42.11)
(-138.87;41.79)
C ймовірністю 0.95 середнє значення Y при х0i знаходиться в зазначених межах. Довірчі інтервали з імовірністю 0.95 для індивідуального значення результативної ознаки.
(-48.54 - 2.145 * 49.12 ; -48.54 + 2.145 * 49.12) (-153.9; 56.82)
З ймовірністю 0.95 індивідуальне значення Y при х0i знаходиться в зазначених межах.
Автокореляція.
Оцінка коефіцієнта рангової кореляції Спірмена. Значимість коефіцієнта рангової кореляції Спірмена
Для того щоб при рівні значущості α перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта рангової кореляції Спірмена при конкуруючої гіпотезі H і . p ≠ 0, треба обчислити критичну точку:
де n - обсяг вибірки; p - вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена:
t (α, к) - критична точка двосторонньої критичної області, яку знаходять за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значущості α і числу ступенів свободи k = n-Якщо | p | <Тkp - немає підстав відкинути нульову гіпотезу. Ранговий кореляційний зв'язок між якісними ознаками не значний. Якщо | p |> TKP - нульову гіпотезу відкидають. Між якісними ознаками існує значущий рангова кореляційний зв'язок. По таблиці Стьюдента знаходимо t (α / 2, k) = (0.05 / 2; 16) = 2.12 Оскільки TKP > p, то приймаємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта рангової кореляції Спірмена. Іншими словами, коефіцієнт рангової кореляції статистично - значний і ранговий кореляційний зв'язок між оцінками за двома тестам незначний. Перевіримо гіпотезу H 0 : гетероскедастичність відсутня. Оскільки 2.12> 0.53, то гіпотеза про відсутність гетероскедастичністі приймається.
Перевірка на наявність автокореляції залишків . Важливою передумовою побудови якісною регресійній моделі по МНК є незалежність значень випадкових відхилень від значень відхилень у всіх інших спостереженнях. Це гарантує відсутність корельованості між будь-якими відхиленнями і, зокрема, між сусідніми відхиленнями. Автокореляція (послідовна кореляція) визначається як кореляція між що спостерігаються показниками, впорядкованими в часі (часові ряди) або в просторі (перехресні ряди). Автокореляція залишків (відхилень) зазвичай зустрічається в регресійоном аналізі при використанні даних часових рядів і дуже рідко при використанні перехресних даних. В економічних задачах значно частіше зустрічається позитивна автокореляція , ніж негативна автокореляція . У більшості випадків позитивна автокореляція викликається спрямованим постійним впливом деяких неврахованих в моделі факторів. Негативна автокореляція фактично означає, що за позитивним відхиленням слід негативне і навпаки. Така ситуація може мати місце, якщо ту ж залежність між попитом на прохолодні напої і доходами розглядати по сезонним даними (зима-літо).
Серед основних причин, що викликають автокореляцію, можна виділити наступні.
Помилки специфікації. Неврахування в моделі якої-небудь важливої пояснювальної змінної або неправильний вибір форми залежності, зазвичай призводять до системних відхилень точок спостереження від лінії регресії, що може зумовити автокореляції.
Інерція. Багато економічні показники (інфляція, безробіття, ВНП і т.д.) володіють певною циклічністю, пов'язаної з хвилеподібністю ділової активності. Тому зміна показників відбувається не миттєво, а володіє певною інертністю. 3. Ефект павутини. У багатьох виробничих та інших сферах економічні показники реагують на зміну економічних умов з запізненням (часовим лагом).
Згладжування даних. Часто згадані по деякому тривалому часовому періоду отримують усередненням даних за складовими його інтервалам. Це може привести до певного згладжування коливань, які малися всередині розглянутого періоду, що в свою чергу може служити причиною автокореляції. Наслідки автокореляції схожі з наслідками гетероскедастичності : висновки по t- та F-статистикам, що визначають значимість коефіцієнта регресії і коефіцієнта детермінації, можливо, будуть невірними.
Виявлення автокореляції. Є ряд варіантів графічного визначення автокореляції. Один з них ув'язує відхилення εі з моментами їх отримання i. При цьому по осі абсцис відкладають або час отримання статистичних даних, або порядковий номер спостереження, а по осі ординат - відхилення εі (якої оцінки відхилень). Природно припустити, що якщо є певна зв'язок між відхиленнями, то автокореляція має місце. Відсутність залежності швидше за все буде свідчити про відсутність автокореляції. Автокореляція стає більш наочною, якщо побудувати графік залежності εі від εі-1
Коефіцієнт автокореляції . Якщо коефіцієнт автокореляції R εі <0.5, то є підстави стверджувати, що автокореляція відсутня.
Критерій Дарбіна-Уотсона . Цей критерій є найбільш відомим для виявлення автокореляції. При статистичному аналізі рівняння регресії на початковому етапі часто перевіряють здійснимість однієї передумови: умови статистичної незалежності відхилень між собою. При цьому перевіряється некорельованості сусідніх величин ei.
y | y(x) | ei = y-y(x) | e2 | (ei - ei-1)2 |
50.27 | 55.77 | -5.5 | 30.23 | 0 |
49.34 | 63.7 | -14.36 | 206.14 | 78.49 |
60.27 | 76.77 | -16.5 | 272.23 | 4.59 |
50.95 | 83.44 | -32.49 | 1055.37 | 255.58 |
67.34 | 89.24 | -21.9 | 479.57 | 112.09 |
72.35 | 127.53 | -55.18 | 3044.31 | 1107.3 |
77.28 | 81.29 | -4.01 | 16.08 | 2617.87 |
86.14 | 86.83 | -0.69 | 0.47 | 11.03 |
91.34 | 97.74 | -6.4 | 40.91 | 32.57 |
97.34 | 85.76 | 11.58 | 134.1 | 323.13 |
105.02 | 68.82 | 36.2 | 1310.58 | 606.24 |
110.35 | 111.27 | -0.92 | 0.84 | 1377.83 |
111.04 | 81.09 | 29.95 | 896.97 | 952.75 |
119.34 | 111.59 | 7.75 | 60.08 | 492.77 |
134.27 | 117.27 | 17 | 288.97 | 85.53 |
130.21 | 103.69 | 26.52 | 703.48 | 90.71 |
148.37 | 132.9 | 15.47 | 239.24 | 122.23 |
141.62 | 128.16 | 13.46 | 181.06 | 4.05 |
|
|
| 8960.63 | 8274.77 |
Для аналізу коррелированности відхилень використовують статистику Дарвіна-Уотсона :
Критичні значення d1 і d2 визначаються на основі спеціальних таблиць для необхідного рівня значущості α, числа спостережень n = 18 і кількості пояснюють змінних m = 3. Автокорреляция відсутня, якщо виконується така умова:
d1 <DW та d2 <DW <4 - d2 .
Якщо не звертатися до таблиць, можна користуватися приблизним правилом і вважати, що автокореляція залишків відсутня, якщо
1.5 <DW <2.5.
Оскільки 1.5> 0.92 <2.5, то автокореляція залишків присутня .
Для більш надійного виведення доцільно звертатися до табличних значень. По таблиці Дарбина-Уотсона для n = 18 і k = 3 (рівень значущості 5%) знаходимо:
d1 = 0.93; d2 = 1.69.
Оскільки 0.93 <0.92 і 1.69 <0.92 <4 - 1.69, то автокореляція залишків присутня.
Також, для виявлення структури ряду (тобто складу компонент) будують автокореляційну функцію.
Автокореляція рівнів ряду - кореляційний між послідовними рівнями одного і того ж ряду динаміки (зсунутими на певний проміжок часу L - лаг). Тобто зв'язок між рядом: х1 , х2 , ... хnLl та рядом х1+L , х2 + L , ... хn , де L - позитивне ціле число. Автокореляція може бути виміряна коефіцієнтом автокореляції. Лаг (зсув у часі) визначає порядок коефіцієнта автокореляції. Якщо L = 1, то маємо коефіцієнт автокореляції 1-го порядку rt, t-1 . Якщо L = 2, то коефіцієнт автокореляції 2-го порядку rt, t-2 і т.д.
Слід враховувати, що зі збільшенням лага на одиницю число пар значень, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується на 1. Тому зазвичай рекомендують максимальний порядок коефіцієнта автокореляції, рівний n / 4.
Розрахувавши кілька коефіцієнтів автокореляції, можна визначити лаг (I), при якому автокорреляция (rt, tL) найбільш висока, виявивши тим самим структуру часового ряду .
Якщо найбільш високим виявляється значення rt, t-1 , то досліджуваний ряд підтримує тільки тенденцію. Якщо найбільш високим виявився rt, tL, то ряд містить (крім тенденції) коливання періодом L. Якщо жоден з rt, tL (l = 1; L) не є значущим, можна зробити одне з двох припущень:
• або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, а його рівень визначається тільки випадкової компонентою;
• або ряд містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз.
Послідовність коефіцієнтів автокореляції 1, 2 і т.д. порядків називають автокорреляционной функцією часового ряду . Графік залежності значень коефіцієнтів автокореляції від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називають корелограми .
Щоб знайти коефіцієнт кореляції 1-го порядку, потрібно знайти кореляцію між рядами (розрахунок проводиться не по 18, а по 17 парам спостережень):
Два важливих властивості коефіцієнта автокореляції:
1) Він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і таким чином характеризує тісноту тільки лінійного зв'язку поточного і попереднього рівнів ряду. По-цьому за коефіцієнтом автокореляції можна судити про наявність лінійної (або близькою до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію (наприклад, параболу другого порядку або експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів вихідного ряду може наближатися до нуля.
2) За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадної тенденції в рівнях ряду. Більшість часових рядів економічних даних містить позитивну автокореляції рівнів, однак при цьому можуть мати тенденцію, що убуває.
Зрушуємо вихідний ряд на 1 рівень.
Отримуємо наступну таблицю:
yt | yt – 1 |
50.27 | 49.34 |
49.34 | 60.27 |
60.27 | 50.95 |
50.95 | 67.34 |
67.34 | 72.35 |
72.35 | 77.28 |
77.28 | 86.14 |
86.14 | 91.34 |
91.34 | 97.34 |
97.34 | 105.02 |
105.02 | 110.35 |
110.35 | 111.04 |
111.04 | 119.34 |
119.34 | 134.27 |
134.27 | 130.21 |
130.21 | 148.37 |
148.37 | 141.62 |
Розрахунок коефіцієнта автокореляції 1-го порядку . Параметри рівняння авторегресії . Вибіркові середні:
Вибіркові дисперсії:
Середньоквадратичне відхилення :
Коефіцієнт автокореляції
Лінійний коефіцієнт автокореляції rt,t-1:
Лінійний коефіцієнт кореляції приймає значення від -1 до +1. Зв'язки між ознаками можуть бути слабкими і сильними (тісними). Їх критерії оцінюються за шкалою Чеддока:
0.1 < rt,t-1 < 0.3: слабка;
0.3 < rt,t-1 < 0.5: помірна;
0.5 < rt,t-1 < 0.7: помітна;
0.7 < rt,t-1 < 0.9: висока;
0.9 < rt,t-1 < 1: дуже висока;
В нашому прикладі зв'язок між рядами - дуже високий та прямий.
x | y | x 2 | y 2 | x • y |
50.27 | 49.34 | 2527.07 | 2434.44 | 2480.32 |
49.34 | 60.27 | 2434.44 | 3632.47 | 2973.72 |
60.27 | 50.95 | 3632.47 | 2595.9 | 3070.76 |
50.95 | 67.34 | 2595.9 | 4534.68 | 3430.97 |
67.34 | 72.35 | 4534.68 | 5234.52 | 4872.05 |
72.35 | 77.28 | 5234.52 | 5972.2 | 5591.21 |
77.28 | 86.14 | 5972.2 | 7420.1 | 6656.9 |
86.14 | 91.34 | 7420.1 | 8343 | 7868.03 |
91.34 | 97.34 | 8343 | 9475.08 | 8891.04 |
97.34 | 105.02 | 9475.08 | 11029.2 | 10222.65 |
105.02 | 110.35 | 11029.2 | 12177.12 | 11588.96 |
110.35 | 111.04 | 12177.12 | 12329.88 | 12253.26 |
111.04 | 119.34 | 12329.88 | 14242.04 | 13251.51 |
119.34 | 134.27 | 14242.04 | 18028.43 | 16023.78 |
134.27 | 130.21 | 18028.43 | 16954.64 | 17483.3 |
130.21 | 148.37 | 16954.64 | 22013.66 | 19319.26 |
148.37 | 141.62 | 22013.66 | 20056.22 | 21012.16 |
1561.22 | 1652.57 | 158944.43 | 176473.58 | 166989.87 |
Значимість коефіцієнта автокореляції .
За таблицею Стьюдента з рівнем значущості α = 0.05 та ступенями свободи k=15 знаходимо tкрит :
tкрит (n-m-1;α/2) = (15;0.025) = 2.131
де m = 1 - кількість пояснюють змінних .
Якщо t набл > t критич , то отримане значення коефіцієнта автокореляції визнається значущим (нульова гіпотеза, яка стверджує рівність нулю коефіцієнта автокореляції, відкидається). Оскільки t набл > t крит , то відхиляємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта автокореляції. Іншими словами, коефіцієнт автокореляції статистично - значущий
Інтервальна оцінка для коефіцієнта автокореляції (довірчий інтервал).
Довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції r (0.94; 1)
Лаг (порядок) | rt,t-L | Коррелограма |
1 | 0.97 | ***** |
Висновок : в даному ряду динаміки є тенденція (r t, t-1 = 0.97 → 1).
Categorised in: Економіка
This post was written by dima
